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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3: Sucesiones

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4. Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones.
h) hn=n(n+2−n)h_{n}=n(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})

Respuesta

Calculamos ahora este otro límite:

lim⁡n→+∞n(n+2−n) \lim_{n \to +\infty} n(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})

Nuevamente estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito menos infinito", vamos a seguir los mismos pasos que venimos haciendo en los items anteriores...

lim⁡n→+∞n(n+2−n)⋅n+2+nn+2+n \lim_{n \to +\infty} n \left(\sqrt{n+2} - \sqrt{n}\right) \cdot \frac{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} Expresamos el numerador como una diferencia de cuadrados y simplificamos, nos queda... lim⁡n→+∞n⋅(n+2)−nn+2+n=lim⁡n→+∞n⋅2n+2+n \lim_{n \to +\infty} n \cdot \frac{(n+2) - n}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = \lim_{n \to +\infty} n \cdot \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} Ahora estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito". Arrancamos sacando factor común "el que manda" adentro de la raíz: lim⁡n→+∞n⋅2n(1+2n)+n \lim_{n \to +\infty} n \cdot \frac{2}{\sqrt{n(1+\frac{2}{n})} + \sqrt{n}} Distribuimos la raíz y sacamos factor común n\sqrt{n} en el denominador, nos queda: lim⁡n→+∞n⋅2n(1+2n+1) \lim_{n \to +\infty} \frac{n \cdot 2}{\sqrt{n}(\sqrt{1+\frac{2}{n}} + 1)} Ahora, usando reglas de potencias nn=n1−12=n12=n\frac{n}{\sqrt{n}} = n^{1-\frac{1}{2}} = n^{\frac{1}{2}} = \sqrt{n} lim⁡n→+∞2n1+2n+1 \lim_{n \to +\infty} \frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}} + 1} Tomamos límite cuando n→+∞n \to +\infty:
lim⁡n→+∞2n1+2n+1=+∞ \lim_{n \to +\infty} \frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}} + 1} = +\infty 
Por lo tanto, el resultado de este límite es... lim⁡n→+∞n(n+2−n)=+∞ \lim_{n \to +\infty} n(\sqrt{n+2} - \sqrt{n}) = +\infty  
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Luisa
29 de abril 12:35
Hola profe, por qué cuándo haces la distribución de las raíces en el numerador pones n.2, me perdí en ese pasó
0 Responder
Flor
PROFE
29 de abril 22:08
@Luisa Hola Luisa! Te referis a este paso?

lim⁡n→+∞n⋅(n+2)−nn+2+n=lim⁡n→+∞n⋅2n+2+n \lim_{n \to +\infty} n \cdot \frac{(n+2) - n}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = \lim_{n \to +\infty} n \cdot \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}

Fijate que ahí en el numerador ya te quedó 2⋅n2 \cdot n

Creo que la duda viene porque justo después del paso donde digo "distribuimos la raíz..." los empecé a escribir juntos, pero fijate que ya lo tenías desde más arriba, sólo cambié la forma de escribirlo :)
0 Responder
Eli
1 de mayo 16:07
@Luisa Hola Profe, consulta. Al final me puede quedar 2raizn / raiz1 + 1 = simplifico el 2/2 y me queda por resultado final raiz n = +oo
Consulto porque capaz estoy planteandolo mal
0 Responder